double star diffraction

二重星の回折像について

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２０１４年１０月　舟越　和己

１．二重星の分離基準

　rを等光２重星のエアリ－ディスクの半径（秒角）とするとき、二重星の分離基準には次の３つの種類があります。スパロー(Sparrow)が一番厳しい条件です。

（１）レイレーリミット

　　　２つのエアリーディスクの中心がちょうど半径rだけ離れている。

（２）ドーズ・リミット

　　　レイレイレーリミットより８５％中心が接近。

（３）スパロー・リミット

　　　ドーズ・リミットより９２％中心が接近。＝レイレーリミットより７７％中心が接近。

下記を参照；

　http://www2.odn.ne.jp/~ccr61210/www2.odn.ne.jp/double.html

各リミットをフラウンフォーファー回折の式からグラフ表示すると次のようになります。

（１）レイリーリミット

（２）ドーズリミット

（３）スパローリミット

　スパローリミットでは２つのピークはなくなり平らな頂上(flat top)となります。スパローリミットについて、
　Hecht著 OPTICS Third Edition, P.465には「Astronomical studies of equal brightness stars have shown
　that Sparrow's criterion is by far the more realistic.（等光二重星の研究はスパローリミットがはるかに
　現実的であることを示している。）」と書いてあります。

２．分離基準と半値全幅(FWHM)の関係

■半値全幅(FWHM)とは？

　正規分布のようなピークのある分布で、ピークの高さの50%のときの分布の幅を半値全幅と（FWHM：
　Full Width at Half Maximum)いいます。これは接近した２つのピークを分離する能力の限界を示すとき
　に使われます。

　下の図は無遮蔽の開口の回折像の光の強度分布のFWHMを示したものです。この場合、FWHMの大きさ
　は1.03λ/D（ラジアン）となります（注）。これはエアリーディスクの直径の42%（=1.03/2.44)の大きさです。

　　（注）回折像の強度[2*BESSEL(x)/x]²=0.5とすると、x=1.6162。従って、FWHMは2*1.6162=3.2324に
　　　　　相当します。フラウンフォーファー紹介の３．３節から、x=3.83のときエアリーディスクの半径1.22λ/D
　　　　　（ラジアン）に対応するので、x=3.2324の角度は(1.22λ/D)*3.2324/3.83=1.0296λ/D≒1.03λ/D
　　　　　となります。

■接近した２つのピークの分離とFWHMとの関係

　インターネットにある下記のシミュレーションのように、２つのピークが接近していくと、その重なった
　分布は次第に２つのピーク間の窪みが少なくなり、やがて窪みが消滅し１つのピークになります。
　これは２つのピーク間の距離がFWHMになるときに該当します。

　　http://cnmt.umin.jp/public/kiso/partial6.html

■ドーズリミットとFWHM

　ドーズリミットの場合、２つのピーク間の距離は1.02λ/D（ラジアン）となり、ほぼFWHMに近い値に
　なります。

　尚、スパローリミットの場合は、２つのピーク間の距離は0.95λ/Dです。

　このあたりの話の詳細は下記（Telescope OpticsのTepescope resolution)を参照して下さい；
　
　Telescope resolution

３．中央遮蔽の場合

　等光二重星分離の各リミットについて、無遮蔽の場合と遮蔽率50%の場合を比較します。遮蔽有りの
　場合の強度分布が全体として下がっているのは、遮蔽による光量低下のためです。

　上記のように、副鏡等の中央遮蔽が大きい時（５０％等）、レイレー、ドーズ、スパローのどのケースでも
　窪みが大きくなり、２重星の分離としては改善されます。

４．不等光二重星の例

　例として牛飼座ε（等級差2.4等、離角2"9）の回折像を10cmの望遠鏡で見た場合の光度分布を示します。
　伴星は第一回折リングの横に位置します。等級差は回折像のピークの差として現れます（等級差2.4等は
　光量では9倍の差なので伴星の回折像のピークは0.1付近としています。